Problema con determinantes..

[Pendorcho]

A ver si algun croto me resuelve esto..
Quiero sacar el determinante de una matriz de 5x5..
Como carajo hago???

De 2x2 y 3x3 lo haces con las reglitas memotécnicas de mierda, pero matrices cuadradas de 4 pa arriba siempre te culean...

Alguien que me saque del apuro, no tengo muchas ganas de usar el marote en este momento..

[qxjis]

...desarrollo por filas o por columnas. Primero fijate que no haya dos filas o columnas que sean evidentemente porporcionales (tal caso, det = 0). Luego elegí la fila o la columna que tenga más ceros y desarrollá el determinante a partir de esa fila o columna. Suele ser el camino más fácil.

El det de 5x5 se te va a reducir a una suma de dets de 4x4, los de 4x4 a sumas de dets. de 3x3 y ahí ya sabés cómo hacer.

Es casi fuerza bruta. El truco, la chispa, está en darse cuenta por qué fila o columna es más fácil desarrollar el determinante. [Estoy asumiento que sabés calcular un determinante en suma de menores etc.]

[Biam!]

Es un bajón con matrices grandes, tenes que ir haciendo de a matrices mas chiquitas, como dijo el de nick raro y avatar de diablito.

[Bestra]

5x5? tenes que haces como 60 calculos para sacar el determinante..

[judío ginger daywalker petiso]

y mira...
el determinante se define (http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz...determinant%29) como una suma de permutaciones. para 5x5 tenes 5!=120 sumandos, asi que podrias sumarlos a mano, si sabes generarte todas las permutaciones sin repetir y sin olvidarte ninguna, y calcular sus signos.
asi que desde el vamos, siempre tenes esta horrible y tediosa manera.

pero no, no da...
la clave es usar una mezcla de las siguientes dos herramientas
1) el metodo de laplace (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion) es el tipico metodo que te dan para matrices grandes... a veces lo llaman separar por cofactores o algo asi... la idea es simple: si vos agarras un item de la matriz, y tachas su fila y su columna, y pegas los pedazos restantes, obtenes una matriz cuadrada de (n-1)x(n-1). y al determinante de esa matriz se lo llama cofactor. si podes calcular los n cofactores para una columna o fila fija, podes expresar el determinante de la matriz como una serie de sumas y restas usando los cofactores calculados. ojo, esto no intenta ser una explicacion rigurosa del metodo, sino una descripcion rapida para que si lo conoces sepas a cual me refiero. si no lo conoces, entonces seguro no tenes que usarlo y buscan que los resuelvas de otro metodo (o faltaste a clase y en ese caso jodete x nabo).
2) las propiedades del determinante. (de aca en adelante, A y B son matrices de nxn y c es un numero real, excepto en el item f)
a) si B es igual a A pero con una fila multiplicada por c, det(B) = c det(A)
b) si B es igual a A pero intercambiando dos filas, det(B) = - det(A)
c) si B es igual a A pero sumandole a una fila el producto escalar de otra fila, det(B) = det(A)
d) si B es A transpuesta, det(B) = det(A)
e) si una fila de A (la fila i-esima) puede escribirse como f1+f2 (donde f1 y f2 son vectores fila de 1xn), y tomando A1 como A pero cambiando la i-esima fila por f1, y A2 la similar pero cambiandola por f2, entonces det(A)=det(A1)+det(A2).
f) si A y B son matrices tales que AB esta definida, det(AB) = det(A)det(B).
de estas se pueden deducir algunas mas...
g) si A tiene una fila de ceros, det(A) = 0.
h) si A tiene dos filas iguales, det(A) = 0.
y aplicando d a todas se deduce que por cada propiedad donde aparece la palabra "fila", es valida la misma propiedad cambiando "fila" por "columna".
(por ejemplo, para h, si A tiene dos columnas iguales, det(A) = 0.)

el objetivo es simple: en el metodo de los cofactores te combiene tener una fila/columna con muchos ceros, ya que en ese caso te ahorras tener que calcular esos cofactores. tonces, usando las propiedades, vas manipulando la matriz para poder llegar a tener una fila o columna casi nula, y calcularlo facilmente.
por ejemplo, podes triangular, ya con las propiedades del determinante podes ver como va cambiando cuando vas aplicando las operaciones elementales que usas para triangular.

K

[Biam!]

Che, pero si triangulas la matríz el determinante sigue siendo el mismo? no es aplicando una sola operación? O sea, intercambiar solamente una fila por otra, o restarle a una sola fila un múltiplo de otra fila. No se, por ahí entendí cualquiera, el ejercicio de matrices lo hice mal en el parcial.

[judío ginger daywalker petiso]

obvio que las propiedades se aplican a UNA OPERACION.
pero como la triangulacion por el metodo de gauss es una serie de operaciones, terminas expresando el determinante domo una serie de aplicaciones de propiedades del determinante.

ponele que vos tenes la matriz A. y me pongo a triangular. si multiplico una fila por c, se que el determinante actual es "c por el de A". si dps intercambo dos columnas de lugar, se que el determinante actual es "-(c por el de A)". si ahora le sumo a una fila otra, se que el determinante actual es "-(c por el de A)". y asi vas resolviendolo...

K

[Killua]

Aplica determinantes por fila o columna que es lo mas facil... buscá la que tenga mas ceros y listo... aah... y fijate que no haya filas iguales ni "paralelas" (no me sale la palabra) porque ahi el determinante es cero de cabeza...

suerte che y cualquier duda te explico algebra sin drama

[Pendorcho]

Ya lo resolvi, che, pero gracias a la negrada que tiraron las ayudas esas..

[Lux]

Che, pero si triangulas la matríz el determinante sigue siendo el mismo? no es aplicando una sola operación? O sea, intercambiar solamente una fila por otra, o restarle a una sola fila un múltiplo de otra fila. No se, por ahí entendí cualquiera, el ejercicio de matrices lo hice mal en el parcial.

creo q lo hiciste bastante mal ehg

siempre me dijeron que para sacar el determinante de una nunca hay q triangular... sino sería bastante más fácil

[judío ginger daywalker petiso]

vos sacas el determinante como puedas... en verdad, al dia de la fecha, jamas triangule para hacer un ejercicio de determinantes, y la unica vez que intente triangular termine desistiendo (Era un problema de determinantes con parametros y como podran imaginar, el polinomio final era HORRIBLE).
pero digamos que como "ultimo metodo", es uno que sabes que sale, y al menos no implica sumar n! terminos...

K

[Biam!]

Che, Luxy, read again. Lo que le pregunté a kkkkkk es si triangulando la matríz el determinante era el mismo que el de la original, porque hasta donde yo tenía entendido el determinante cambia al triangularla, y las propiedades se aplican a una sola operación.

[Lux]

Che, Luxy, read again. Lo que le pregunté a kkkkkk es si triangulando la matríz el determinante era el mismo que el de la original, porque hasta donde yo tenía entendido el determinante cambia al triangularla, y las propiedades se aplican a una sola operación.

yo dije que era diferente. Si primero triangulas y después sacás el determinante, va a dar distinto que si sacás el determinante de la matriz original.

bueg.

5x5? tenes que haces como 60 calculos para sacar el determinante..

Según recuerdo, para saber cuantas operaciones tenías que hacer, tenías que sacar el factorial del número de filas (o de la dimensión, can't remember)... en tal caso son 120, no 60...

[Pendorcho]

120..