Límite auxiliar de D'Alembert - pregunta

[Abaddon]

Bueno... hola.

Tengo un pequeño problema, en un ejercicio donde tengo que averiguar el límite de An, consigo el límite de An+1/An = e^(-2/3), o sea que 0<L<1.
Según leí en un resuelto, el señor D'Alembert dijo algo sobre ésto, y permite averiguar el límite de An sabiendo si An+1/An converge a un determinado L.

La pregunta es: ¿Qué dijo el tipo éste?

Muchas gracias.

[Gonzo]

La solución a tu problema ACÁ.

[judío ginger daywalker petiso]

El señor de alambre dijo:
"Sea An una sucecion tal que TODOS SUS TERMINOS SEAN POSITIVOS...
considerese el limite de la sucecion An+1 / An, y de existir, llamese L al limite de dicha sucecion.
Si L es menor que 1, An converge a 0. Si L esmayor que 1, An diverge a +infinito. Si L es 1 o An+1 / An no tubiese limite, no te puedo decir nada"...

demostracion informal (osea, un bosquejo de como tendrias q demostrarlo si quisieras hacerlo posta)...

por definicion de limite, q el limite del cociente sea menor que 1 significa que a partir de cierto n, ese cociente se acerca tanto como uno quiera a un numero L menor que 1, es decir q a partir de cierto n ese limite siempre esta en un entorno de L, todo este entorno menor que 1... es decir que a partir de cierto n An+1 es menor que An (An es decreciente)...

analogamente, si el limite L es mayor q 1, An es creciente.

Sabemos que An esta acotada inferiormente por 0.

Supongamos que existe un numero finito S, distinto de 0, tal que An converge a S. Luego, An+1 tambien converge a S. y por propiedades del limite, An+1 / An converge a 1.

ahora veamos a que lleva todo esto...

si L era menor que 1, tenemos una funcion decreciente y acotada inferiormente, por lo tanto converge. supongamos que converge a S distinto de 0. Luego, L seria 1. pero como L es menor que 1, llegamos a un absurdo por suponer que convergia a S distinto de 0. luego debe converger a 0.

si L era mayor que 1, tenemos una funcion creciente. supongamos que crece y converge a un numero S. luego, L seria 1. pero como L es mayor que 1, llegamos a un absurdo por suponer que converge a un numero S. luego, tiene que diverger.

esta demostracion es MUY informal, y seguro necesites algunas cosillas mas para demostrar algunas cosas q doy por sentadas, pero basicamente te permite demostrar el criterio de D'Alembert.

K

[Abaddon]

Gracias kkkkkk, eso lo encontré en Google. El problema es que el apunte de resueltos asume que si 0<L<1, el límite de An es 0. Eso es lo que no entiendo ni encuentro.

Gonzo, chupame bien la pija, pelotudo.


Editaste. Ok, te creo! gracias.

[Gonzo]

Gracias kkkkkk, eso lo encontré en Google

Gonzo, chupame bien la pija, pelotudo.

No te chives padre... no tenés sentido del humor?

[Abaddon]

CAPO

[judío ginger daywalker petiso]

che, ahi agregue una demostracion bastante simple de porque funciona como funciona, fijate q onda, cualquier cosa manda PM

K

[Abaddon]

Listo, entendí. Mil gracias, che.